Ще математики стародавнього Китаю використовували у своїх обчисленнях запис у вигляді таблиць з певною кількістю рядків і стовпчиків. Тоді подібні математичні об'єкти іменувалися як «чарівні квадрати». Хоча відомі випадки використання таблиць у вигляді трикутників, які так і не отримали широкого поширення.

На сьогоднішній день під математичною матрицею прийнято розуміти об'єкт прямокутної форми з заданою кількістю стовпчиків і символів, які і визначають розміри матриці. У математиці така форма запису знайшла широке застосування для запису в компактному вигляді систем диференційних, а також лінійних алгебраїчних рівнянь. Прийнято, що кількість рядків у матриці дорівнює числу присутніх у системі рівнянь, кількості стовпчиків відповідає, скільки невідомих необхідно визначити під час вирішення системи.

Крім того, що сама по собі матриця в ході її рішення призводить до знаходження невідомих, закладених в умову системи рівнянь, існує ряд алгебраїчних операцій, які допускається здійснювати над даним математичним об'єктом. Цей перелік включає в себе складання матриць, що мають однакові розміри. Множення матриць з відповідними розмірами (можна перемножити лише матрицю, що з одного боку має кількість стовпчиків, рівну кількості рядків у матриці з іншого боку). Також можна множити матрицю на вектор, або на елемент поля або основного кільця (інакше скаляр).

Розглядаючи множення матриць, слід уважно стежити, щоб кількість стовпців першого суворо відповідала числу рядків другого. Інакше дане дійство над матрицями буде не визначено. Згідно з правилом, за яким здійснюється множення матриці на матрицю, кожен елемент у новій матриці прирівнюється до суми творів відповідних елементів з рядків першої матриці на елементи, взяті зі стовпчиків іншої.

Для наочності розглянемо приклад, як відбувається множення матриць. Беремо матрицю A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

множимо її на матрицю B

3 -2

1 0

4 -3.

Елемент першого рядка першого стовпчика результуючої матриці дорівнює 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. Відповідно, у першому рядку у другому стовпчику буде елемент рівний 2 * (-2) + 3 * 0 + (-2) * (-3), і так далі до заповнення кожного елемента нової матриці. Правило множення матриць передбачає, що результатом твору матриці з параметрами m x n на матрицю, що має співвідношення n x k, стане таблиця, яка володіє розмірами m x k. Дотримуючись цього правила, можна зробити висновок, що твір так званих квадратних матриць відповідно одного порядку завжди визначено.

З властивостей, якими володіє множення матриць, слід виділити в якості однієї з основних те, що ця операція не є комутативною. Тобто твір матриці M на N не дорівнює твору N на M. Якщо в квадратних матрицах одного порядку спостерігається, що їх пряме і зворотне твори завжди визначені, відрізняючись лише результатом, то для прямокутних матриць подібна умова визначеності не завжди виконується.

У множення матриць існує ряд властивостей, які мають чіткі математичні докази. Асоціативність множення передбачає вірність наступного математичного виразу: (MN) K = M (NK), де M, N, і K - матриці, що мають параметри, при яких множення визначено. Дистрибутивність множення передбачає, що M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), де L - число.

Наслідком з властивості множення матриць, іменованого «асоціативність», випливає, що у творі, що містить від трьох і більше сумнівножителів, допускається запис без використання дужок.

Використання властивості дистрибутивності дає можливість розкривати дужки при розгляді матричних виразів. Звертаємо увагу, якщо ми розкриваємо дужки, то потрібно зберігати порядок сомножителів.

Використання матричних виразів дозволяє не тільки компактно виробляти запис громіздких систем рівнянь, але і полегшує процес їх обробки і рішення.